圆内两条非直径的弦相交,试证明它们不能互相平分

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 23:23:56
圆内两条非直径的弦相交,试证明它们不能互相平分

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圆内两条非直径的弦相交,试证明它们不能互相平分
证明(反证法):设圆O的不是直径的两条弦AB与CD交于E,且互相平分.连接OA和OB.
∵OA=OB;AE=BE.
∴OE⊥AB.(等腰三角形底边的中线也是底边的高)
同理:OE⊥CD.
这与定理"过一点有且只有一条直线与已知直线垂直"相矛盾.
故假设不成立,所以"不是直径的两条弦不能互相平分".

反证法

反证法：记交点为P，圆心为O，AB，CD为相交两弦。连接PO，PA，PB，PC，PD PA=PB AP=PB OP垂直于AB 同样 OP垂直于CD AB于CD重合矛盾故命得证 ..

先给出等价命题：

再给出证明过程：

 

其中OP⊥CD可由垂径定理直接得到，也可以由全等得到：连接OC和OD，则△OPC全等于△OPD，所以∠OPC=∠OPD=90°，所以OP⊥CD，同理，OP⊥AB

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