将函数f(x)=1/1+2x展开为x-1的幂级数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 01:58:07

将函数f(x)=1/1+2x展开为x-1的幂级数
将函数f(x)=1/1+2x展开为x-1的幂级数

将函数f(x)=1/1+2x展开为x-1的幂级数
令t=x-1
则x=t+1
f(x)=1/(1+2x)
=1/(1+2t+2)
=1/(2t+3)
=1/3*1/(1+2t/3)
=1/3*[1-2t/3+4t^2/9-8t^3/27+.]
=1/3-2t/9+4t^2/27-8t^3/81+.
=1/3-2(x-1)/9+4(x-1)^2/27-8(x-1)^3/81+...

根据等比数列公式，
1/(1+2x) = 1/(1-(-2x)) = 1 + (-2x) + (-2x)^2 + (-2x)^3 + ... + (-2x)^(n-1) + ... ，
这是因为等比数列前n项和是(公比为-2x)：
S(n) = [1 - (-2x)^n]/(1 - (-2x)) 趋于 1/(1+2x) （当n趋于无穷）。
所以展开式就是
1...

全部展开

根据等比数列公式，
1/(1+2x) = 1/(1-(-2x)) = 1 + (-2x) + (-2x)^2 + (-2x)^3 + ... + (-2x)^(n-1) + ... ，
这是因为等比数列前n项和是(公比为-2x)：
S(n) = [1 - (-2x)^n]/(1 - (-2x)) 趋于 1/(1+2x) （当n趋于无穷）。
所以展开式就是
1/(1+2x) = Sum (n从1到无穷) (-2x)^(n-1)，注意能够展开的条件是公比的绝对值必须小于1，即
|-2x| < 1，或者 -1/2 < x < 1/2。在x的其他数值是没有幂级数展开式的，因为等比数列求前n项和后求出来的极限是无穷大。 Sum就是求和符号。

收起

将函数展开为幂级数将函数f(x)=1/(x²+x-2)展开成X的幂级数高数将函数展开为幂级数将函数f(x)=1/x^2 展开为(x-1)幂级数. 将函数f(x)=1/1+2x展开为x-1的幂级数将函数f(x)=1/(2+3x)展开为x-1的幂级数将函数f(x)=1/(1-x^2)展开为的x幂级数将函数f(x)=1/x平方-5x+6展开为x的幂级数将函数f(x)=x^2ln(1+x)展开成x的幂函数将函数f(x)=x^2/(1+x)展开成的x幕函数将函数f(x)=(x-1)/(x^2-2x-3)在X=1处展开为幂级数将函数f(x)=1/x展开为(x-3)的幂级数将函数f(x)=1/（2x^2-3x+1）展开为x的幂级数RT 将函数f(x)=1/(x^2+3x+2)展开成x的幂级数将函数f(x)=1/(x^2-x-6)展开成x的幂级数将函数f（x）=x/x∧2-x-2展开成x-1的幂函数将函数f(x)=1/(3-x)展开为(x-2)的幂级数,并求其收敛域将函数f(x)=1/x+2展开为x的幂级数,并确定收敛域将函数f(x)=1/(2-x)展开为x的幂级数,并确定收敛域? 将函数f(x)=1/1+2x展开成关于x的幂级数