作业帮2011年南京市数学中考指导书116页第五题 任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 20:51:32
2011年南京市数学中考指导书116页第五题 任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?
2011年南京市数学中考指导书116页第五题 任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,
它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?
2011年南京市数学中考指导书116页第五题 任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?
存在,不过不相似
假定初始的矩形边长为a、b,则有：
面积：S = a*b
周长：L = 2(a + b)
假定另外一个矩形周长为此两倍,有：L2 = 4(a + b)
可以设此矩形边长为：x、y,则有
L2 = 2(x + y) = 4(a + b)
x + y = 2(a + b)
y = 2(a + b) - x
面积:
S2 = x*y
= x*[2(a + b) - x]
= -x^2 + 2(a + b)*x
注意到此函数取得最大值时：
x = (a + b)
y = (a + b)
S2 = (a + b)^2 = (a^2 + b^2) + 2ab ≥4ab = 4*S
面积最小则为0,那么说明这个矩形的面积可以是 2*S
即可存在符合条件的矩形,但是与原矩形不是相似形
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