设函数f(x)=x|arcsinx+a|+b arccosx 是奇函数的充要条件是a^2+b^2=0 为啥

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 07:05:32
设函数f(x)=x|arcsinx+a|+b arccosx 是奇函数的充要条件是a^2+b^2=0 为啥

设函数f(x)=x|arcsinx+a|+b arccosx 是奇函数的充要条件是a^2+b^2=0 为啥
设函数f(x)=x|arcsinx+a|+b arccosx 是奇函数的充要条件是
a^2+b^2=0 为啥

设函数f(x)=x|arcsinx+a|+b arccosx 是奇函数的充要条件是a^2+b^2=0 为啥
f(x)=x|arcsinx+a|+b arccosx 是奇函数,则有
0=f(x)+f(-x)
=x|arcsinx+a|+b arccosx+(-x)|arcsin(-x)+a|+b arccos(-x)
=x|arcsinx+a|-x|-arcsinx+a|+b [arccosx+arccos(-x)]
=x(|arcsinx+a|-|-arcsinx+a|)+πb
对任意的x恒成立.
那么必有
|arcsinx+a|-|-arcsinx+a|=0
及b=0
对前者,令x=1得
|π/2+a|-|-π/2+a|=0
得a=0
故a=0且b=0,也即a^2+b^2=0.必要性得证.
a^2+b^2=0,得a=0且b=0,则
f(x)=x|arcsinx+a|+b arccosx=x|arcsinx|
显然f(-x)+f(-x)=x|arcsinx|+(-x)|arcsin(-x)|=x|arcsinx|-x|arcsinx|=0
故f(x)为奇函数.充分性得证.
故函数f(x)=x|arcsinx+a|+b arccosx 是奇函数的充要条件是a^2+b^2=0.