作业帮已知函数f(x)=ax^3+cx(a>0)在X1,X2处分别取得极值f(x1),且x1-x2的绝对值为2,f(x1)-f(x2)=x2-x1(1)求f(x)的解析式（2）求函数f(x)的单调区间与极值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 12:39:47
已知函数f(x)=ax^3+cx(a>0)在X1,X2处分别取得极值f(x1),且x1-x2的绝对值为2,f(x1)-f(x2)=x2-x1(1)求f(x)的解析式（2）求函数f(x)的单调区间与极值
已知函数f(x)=ax^3+cx(a>0)在X1,X2处分别取得极值f(x1),且x1-x2的绝对值为2,f(x1)-f(x2)=x2-x1
(1)求f(x)的解析式（2）求函数f(x)的单调区间与极值
已知函数f(x)=ax^3+cx(a>0)在X1,X2处分别取得极值f(x1),且x1-x2的绝对值为2,f(x1)-f(x2)=x2-x1(1)求f(x)的解析式（2）求函数f(x)的单调区间与极值
(1)函数f(x)=ax^3+cx(a>0)在X1,X2处分别取得极值
则得,f(x1)'=0,f(x2)'=0
f(x)'=3ax^2+c
则得3a(x1)^2+c=0,3a(x2)^2+c=o
两式相减得,3a(x1^2-x2^2)=0,3a(x1-x2)(x1+x2)=0
x1-x2的绝对值为2,a>0,则得x1+x2=0,又|x1-x2|=2,解得x1=1,x2=-1或x1=-1,x2=1
则得3a+c=0……①
又f(x1)-f(x2)=x2-x1
得a(x1)^3+c-a(x2)^3-c=x2-x1
化简得a(x1-x2){(x1)^2+x1x2+(x2)^2}+c(x1-x2)=x2-x1
为(x1-x2){a(x1)^2+ax1x2+a(x2)^2+c+1}=0
x1-x2≠0则得a(x1)^2+ax1x2+a(x2)^2+c+1=0
x1=1,x2=-1或x1=-1,x2=1
则得a+c+1=0……②
①-②得,2a=1,a=1/2,则得c=-3/2
则得f(x)=(1/2)x^3-(3/2)x
(2)f(x)'=(3/2)x^2-3/2
当f(x)=0,解得x=±1
则得,在（-∞,-1）和（1,+∞）为单调增区间,在（-1,1）为单调减区间
在x=1处取得极小值,极小值为-1
在x=-1处取的极大值,极大值为1