作业帮证明：没一个正整数都能表示成四个整数的平方和.打错了.证明：每一个正整数都能表示成四个整数的平方和."证存在最小的整数n 使奇质数*n=1+x^2+y^2最后证 n=1"对于这个能不能详细点
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 23:29:11
证明：没一个正整数都能表示成四个整数的平方和.打错了.证明：每一个正整数都能表示成四个整数的平方和."证存在最小的整数n 使奇质数*n=1+x^2+y^2最后证 n=1"对于这个能不能详细点
证明：没一个正整数都能表示成四个整数的平方和.
打错了.
证明：每一个正整数都能表示成四个整数的平方和.
"证存在最小的整数n 使奇质数*n=1+x^2+y^2
最后证 n=1"对于这个能不能详细点
证明：没一个正整数都能表示成四个整数的平方和.打错了.证明：每一个正整数都能表示成四个整数的平方和."证存在最小的整数n 使奇质数*n=1+x^2+y^2最后证 n=1"对于这个能不能详细点
这个问题很复杂的 大致思路说一下 中间涉及的问题很多 首先要证 每一个质数能表示成四个整数的平方和 由于每一个正整数均可表示为质数的乘积形式 所以可证出 若质数能表示成四个整数的平方和 则所有的正整数即可表示成四个整数的平方和 具体证明就是 假设质数能表示成四个整数的平方和后将质数相乘可化为四个整数的平方和
接下来由于2=1+1+0+0 成立
下来证存在正整数n小于p 使奇质数p*n=1+x^2+y^2
最后证 n=1（为最小值）
楼主学过原根 指数 指标 同余么
如果没学过 就不用奢求完全明白了
如果学过 说一声 我会看情况 补充一些详细的证明
不好意思 最近有些忙 晚了些
那我就先证一下存在性 p在这里代表奇质数
易知 0 1 ...[(p-1)^2]/2 -1.-1-[(p-1)^2]/2 这p+1个数中
必存在两个数关于p同余 （这是由于p的完全剩余系只有p个数） 故存在x y均小于(p+1)/2 使得x^2≡-1-y^2 (modp)
由于1+ (p-1)^2 小于p^2 所以存在正整数n小于p 使奇质数p*n=1+x^2+y^2
所以pn=(x1)^2+(x2)^2+(x3)^2+(x4)^2
第二步将会更加复杂
即证n的最小值为1 令m为最小的n
假定m为偶数 则=(x1)^2+(x2)^2+(x3)^2+(x4)^2是偶数
若x1 x2 x3 x4 均为偶数 则有公因数4 p为单数 则m为4的倍数 存在m/4使得上式也成立 与m的定义矛盾
若为两双两单 由于对称性 不妨设 x1 x2为双 x3 x4 为单 则x1+x2,x1-x2,x3+x4,x3-x4都为双数 则(1/2)mp=[(x1+x2)/2]^2+ [(x1-x2)/2]^2+[(x3+x4)/2]^2+[(x3-x4)/2]^2成立 则1/2m小于m 矛盾
假定m大于等于3 且m不能整除x1 x2 x3 x4 的公因数否则m会整除p 矛盾
故存在不全为零的四个数y1 y2 y3 y4 使得yi≡xi(modm) yi小于1/2m i=1,2,3,4
(y1)^2+(y2)^2+(y3)^2+(y4)^2≡0 (modm)且小于m^2 即（y1)^2+(y2)^2+(y3)^2+(y4)^2
=am a大于0 小于m
则(m^2)*ap=（z1)^2+(z2)^2+(z3)^2+(z4)^2
其中z1=x1y1+x2y2+x3+y3+x4y4≡0(modm)
z2 ≡0 z3≡0 z4≡0(modm)
(此处的z1 z2 z3 z4 须自己配 第一个已给出 后面三个也为类似形式 只是加减需作调整）
故ap=(t1)^2+(t2)^2+(t3)^2+(t4)^2
由于a小于m 所以矛盾
综上命题成立