已知：a>b>c>0,求证：(a^a)(b^b)(c^c)>(abc)^((a+b+c)/3)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 12:00:05

已知：a>b>c>0,求证：(a^a)(b^b)(c^c)>(abc)^((a+b+c)/3)
已知：a>b>c>0,求证：(a^a)(b^b)(c^c)>(abc)^((a+b+c)/3)

已知：a>b>c>0,求证：(a^a)(b^b)(c^c)>(abc)^((a+b+c)/3)
证明：不等式变形为a^(2a-b-c)*b^(2b-a-c)*c^(2c-a-b)>0
(a/b)^(a-b)*(b/c)^(b-c)*(c/a)^(c-a)>1（1）
因为a>b>c>0所以a/b>1,a-b>0,故(a/b)^(a-b)>1
同理可得(b/c)^(b-c)>1,(c/a)^(c-a)>1
所以不等式（1）成立,故原不等式成立.
证毕!

全部展开

要证：(a^a)(b^b)(c^c) > (abc)^((a+b+c)/3) ，
只要证：alna + blnb + clnc > ((a+b+c)/3)(lna+lnb+lnc) ，【不等式两边取对数】
只需证：(alna + blnb + clnc)/(a+b+c) > (lna+lnb+lnc)/3 ，【不等式两边同除以(a+b+c)】
此不等式左边是 lna，lnb，lnc 的加权平均值，右边是 lna，lnb，lnc 的算术平均值。
已知：a>b>c>0，可得：lna>lnb>lnc，
则有：大的数权重较大，小的数权重较小，
所以，加权平均值大于算术平均值，
即有：(alna + blnb + clnc)/(a+b+c) > (lna+lnb+lnc)/3 ，
所以，(a^a)(b^b)(c^c) > (abc)^((a+b+c)/3) 。

收起

已知a+b+c=0,求证[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b)][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]=9 已知a>b>c,求证((a-b)/1)+((b-c)/1)+((c-a)/1)>0 已知a>b>c,求证1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0 已知a>b>c,求证1/a-b+1/b-c+1/c-a>0 已知a>b>c,a+b+c=0求证a>0,c 已知a.b.c>0 求证a^ab^bc^c≥(abc)^a+b+c/3 已知a>b>c>d>0,a/b=c/d,求证a+d>c+d 已知a>b>c,且a+b+c=0,求证√b^2-ac/a 已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:√b^-ac/a 已知a＞b＞c＞0求证b/a-b＞b/a-c＞c/a-c 已知a,b,c＞0,求证：a²/b+b²/c+c²/a≥a+b+c 已知a,b,c>0,求证a平方/b+b平方/c+c平方/a>=a+b+c 已知：a>b>c>0,求证：(a^a)(b^b)(c^c)>(abc)^((a+b+c)/3) 已知a>b,c>d,求证a+c>b+d. 已知：a//c、b垂直c,求证：a垂直b 已知a>b>c>0,求证a^(2a)b^(2b)c^(2c)>a^(b+c)b^(a+c)c^(a+b) 已知a+b+c=0求证:(a-b/c+b-c/a+c-a/b)(c/a-b+a/b-c+b/c-a)=9已知a+b+c=0求证:((a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b)(c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a))=9 已知a>b>c,a+b+c=0,求证：[c/(a-c)]＜[c/ (b-c)]