求解奥数 页码问题

求解奥数 页码问题
求解奥数 页码问题

求解奥数 页码问题
例1、13/1995 化成小数后是一个无限小数,问在这个无限小数的小数点后面,从第一位到1995位,在这1995个数中,数字6共出现了多少次?
这是一个关于循环小数的周期问题.基本解答方法是先算出循环节,然后再统计每个周期的数字总数和每个周期中6的个数.
13/1995＝0.0065162907268170426……,循环节是065162907268170426共18位,
每个循环节数字6出现4次,（1995－1）÷18＝110……14,前14位6出现3次,
所以一共有110×4＋3＝443个.
例2、有一本96页的书,中间缺了一张.如果将残书的所有页码相加,那么可能得到偶数吗?
假设可能得到偶数,那么计算如下：
如果这本书不缺页,则总96页的所有页码之和是：1+...+96=4656.
由于书中的每一页都包括连续的一个奇数和一个偶数,所以每一页上的页码之和必定是奇数.那么：
残书页码和=4656(偶数)-奇数(一页上的两面页码之和)=奇数
综上所述：不可能得到偶数.
例3、将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123456789101112…问：左起第1000位上的数字是多少?
9页每页上的页码是一位数,共需数码1×9=9（个）；
　　10～99页每页上的页码是两位数,共需数码2×90＝180（个）；
因为(1000－189)÷3＝270……1,所以1000个数码排到第：
99＋270＋1＝370(个)数的第1个数码“3”．
所以本题的第1000位数是3.
例4、有一本科幻故事书,每四页中,有一页为文字,其余三页为图画.如果第一页为图画,那么第二、三页也是图画,第四页为文字,第五、六、七页又为图画,依此类推.如果第一页为文字,那么第二、三、四页为图画,第五页为文字,第六、七、八页又为图画,依此类推.试问：
　　（1）假如这本书有96页,且第一页是图画,那么这本书多少页有图画?
　　（2）假如这本书有99页,那么多少页有图画?
（1）将每4页看作是一组,每一组中有3页是图画：96÷4=24
24×3=72(页)
这本书有72页是图画.
（2）99÷4=24…3
24×3+3=75(页)
例1 一本书共204页,需多少个数码编页码?
9页每页上的页码是一位数,共需数码
1×9＝9(个)；
10～99页每页上的页码是两位数,共需数码
2×90＝180(个)；
100～204页每页上的页码是三位数,共需数码
(204－100＋1)×3＝105×3＝315(个)．
综上所述,这本书共需数码
9＋180＋315＝504(个)．
例2 一本小说的页码,在排版时必须用2211个数码．问：这本书共有多少页?
分析：因为189＜2211＜2889,所以这本书有几百页．由前面的分析知道,这本书在排三位数的页码时用了数码(2211－189)个,所以三位数的页数有 (2211－189)÷3＝674(页)．
因为不到三位的页数有99页,所以这本书共有：99＋674＝773(页)．
99＋(2211－189)÷3＝773(页)．
答：这本书共有773页．
例3 一本书的页码从1至62,即共有62页．在把这本书的各页的页码累加起来时,有一个页码被错误地多加了一次．结果,得到的和数为2000．问：这个被多加了一次的页码是几?
因为这本书的页码从1至62,所以这本书的全书页码之和为
1＋2＋…＋61＋62
＝62×(62＋1)÷2
＝31×63
＝1953．
由于多加了一个页码之后,所得到的和数为2000,所以2000减去1953就是多加了一次的那个页码,是
2000－1953＝47．
例4 有一本48页的书,中间缺了一张,小明将残书的页码相加,得到1131．老师说小明计算错了,你知道为什么吗?
48页书的所有页码数之和为
1＋2＋…＋48
＝48×(48＋1)÷2
＝1176．
按照小明的计算,中间缺的这一张上的两个页码之和为1176－1131＝45．这两个页码应该是22页和23页．但是按照印刷的规定,书的正文从第1页起,即单数页印在正面,偶数页印在反面,所以任何一张上的两个页码,都是奇数在前,偶数在后,也就是说奇数小偶数大．小明计算出来的是缺22页和23页,这是不可能的．
例5 将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：123456789101112…问：左起第2000位上的数字是多少?
本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码?”因为(2000－189)÷3＝603……2,所以2000个数码排到第99＋603＋1＝703(页)的第2个数码“0”．所以本题的第2000位数是0．
例6 排一本400页的书的页码,共需要多少个数码“0”?
将1～400分为四组：
100,101～200,201～300,301～400．
在1～100中共出现11次0,其余各组每组都比1～100多出现9次0,即每组出现20次0．所以共需要数码“0”
典型例题：