已知数列an的递推公式为a1=1,a(n+1)=Sn+n+1 证明:{an+1}是等比数列;求an和Sn
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 14:46:34
已知数列an的递推公式为a1=1,a(n+1)=Sn+n+1 证明:{an+1}是等比数列;求an和Sn
已知数列an的递推公式为a1=1,a(n+1)=Sn+n+1 证明:{an+1}是等比数列;求an和Sn
已知数列an的递推公式为a1=1,a(n+1)=Sn+n+1 证明:{an+1}是等比数列;求an和Sn
a2=a(1+1)=S1+1+1=a1+1+1=3 因为a1=1已知
同理a(2+1)=S2+2+1=a1+a2+2+1=7
a(3+1)=S3+2+1=a1+a2+a3+3+1=1+3+7+4=15
a(4+1)=S4+2+1=a1+a2+a3+a4+4+1=1+3+7+15+5=31
依次类推
有a1+1=2
a2+1=4 a2+1=2(a1+1)
a3+1=8 a3+1=2(a2+1)
、、、
an+1=2(a(n-1)+1)
即an+1是等比数列,比例q=2
an和Sn应该很容易求出
以上是昨天急忙写得,考试时不会,就用这笨办法,至少可以求出an和Sn得一半分应该没问题.
今天刚下班回来,把正解写一下
因为a(n+1)=Sn+n+1 1 式
同理 an=S(n-1)+n-1+1=S(n-1)+n 2式
1-2 得 a(n+1)-an=Sn+n+1-S(n-1)-n
=S(n-1)+an+n+1-S(n-1)-n
=an+1
即a(n+1)-an=an+1
a(n+1)=2an+1
两边同时加1得
a(n+1)+1=2an+1+1=2an+2=2(an+1)
得 【a(n+1)+1】/(an+1)=2 3式
所以{an+1}是等比数列,且an+1=2的n 次方
即an=2的n 次方-1
又a(n+1)=Sn+n+1 4式
3和4式可算出Sn