如何证明魏尔斯特拉斯函数处处连续但处处不可微?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 16:09:24

如何证明魏尔斯特拉斯函数处处连续但处处不可微?
如何证明魏尔斯特拉斯函数处处连续但处处不可微?

如何证明魏尔斯特拉斯函数处处连续但处处不可微?
用级数来证明

连续性可以根据选优级数

具体看菲赫金戈尔茨《微积分学教程》第二卷 444节

级数　证明这个函数处处连续并不困难。由于无穷级数的每一个函数项 $a^n \cos(b^n \pi x)$ 的绝对值都小于常数 $a^n$ ，而正项级数 $\sum_{n=0} ^\infty a^n$ 是收敛的。由比较审敛法可以知道原级数一致收敛。因此，由于每一个函数项 $a^n \cos(b^n \pi x)$ 都是...

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级数　证明这个函数处处连续并不困难。由于无穷级数的每一个函数项 $a^n \cos(b^n \pi x)$ 的绝对值都小于常数 $a^n$ ，而正项级数 $\sum_{n=0} ^\infty a^n$ 是收敛的。由比较审敛法可以知道原级数一致收敛。因此，由于每一个函数项 $a^n \cos(b^n \pi x)$ 都是 ${\mathbb R}$ 上的连续函数，级数和 $f(x)$ 也是 ${\mathbb R}$ 上的连续函数。
　　下面证明函数处处不可导：对一个给定的点 $x \in {\mathbb R}$ ，证明的思路是找出趋于 $x$ 的两组不同的数列 $(x_n)$ 和 $(x'_n)$ ，使得
　　: $\lim \inf \frac{f(x_n) - f(x)}{x_n - x} > \lim \sup \frac{f(x'_n) - f(x)}{x'_n - x}.$
　　这与函数可导的定义矛盾，于是证明完毕。

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