作业帮1的平方+2的平方+.n的平方的公式及其推导过程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 17:22:29
1的平方+2的平方+.n的平方的公式及其推导过程
1的平方+2的平方+.n的平方的公式及其推导过程
1的平方+2的平方+.n的平方的公式及其推导过程
1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
...
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1
两端相加得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n
又：1+2+3+...+n=(n+1)n/2
代人上式：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理得：
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
由和立方公示可得：
1³ = 1
(1+1)³=1³ +3×1² +3×1 +1
(2+1)³=2³ +3×2² +3×2 +1
(3+1)³=3³ +3×3² +...
全部展开
由和立方公示可得：
1³ = 1
(1+1)³=1³ +3×1² +3×1 +1
(2+1)³=2³ +3×2² +3×2 +1
(3+1)³=3³ +3×3² +3×3 +1
………………………………
n³=(n-1)³+3×(n-1)²+3×(n-1)+1
(n+1)³=n³ +3×n² +3×n +1
相加。注意，除最后一行外,等号左边均与下一行等号右边第一项抵消。另外，我们用S²代表平方和，用S¹代表自然数的和，可得：
(n+1)³=3S²+3S¹+n+1
把S¹=n(n+1)/2代入上式得：
3S²=(n+1)³-3n(n+1)/2+n+1
最后得
S²=n(n+1)(2n+1)/6
收起