Q为三角形ABC内心,证对任一点P均有a*PA+b*PB+c*PC=a*QA*QA+b*QB*QB+c*QC*QC+(a+b+c)*QP*QPBC=a,CA=b,AB=c

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 04:04:34
Q为三角形ABC内心,证对任一点P均有a*PA+b*PB+c*PC=a*QA*QA+b*QB*QB+c*QC*QC+(a+b+c)*QP*QPBC=a,CA=b,AB=c

Q为三角形ABC内心,证对任一点P均有a*PA+b*PB+c*PC=a*QA*QA+b*QB*QB+c*QC*QC+(a+b+c)*QP*QPBC=a,CA=b,AB=c
Q为三角形ABC内心,证对任一点P均有a*PA+b*PB+c*PC=a*QA*QA+b*QB*QB+c*QC*QC+(a+b+c)*QP*QP
BC=a,CA=b,AB=c

Q为三角形ABC内心,证对任一点P均有a*PA+b*PB+c*PC=a*QA*QA+b*QB*QB+c*QC*QC+(a+b+c)*QP*QPBC=a,CA=b,AB=c
LZ题写错啦~左右次数都不等……应该是∑a|PA|²=∑a|QA|²+|PQ|²∑a.
∑代表对a,b,c及A,B,C轮换求和.
本题用向量法比较简单,以下写的PA,PB等都是向量.
首先证明引理：∑aQA=0.这是内心的向量表达式.
在三角形ABC中,延长AQ交BC于D.
由内角平分线性质,|BD|/|CD|=c/b.
由定比分点公式,(b+c)QD=bQB+cQC……(*).
又由内角平分线性质,|QD|/|QA|=|BD|/c=|CD|/b=(|BD|+|CD|)/(b+c)=a/(b+c).
所以QD= -[a/(b+c)]QA.
带入(*)式即得引理!
下面证明原题.
|PA|²-|QA|²=(PA-QA)(PA+QA)=PQ(PQ+2QA)=|PQ|²+2PQ*QA.
所以∑a(|PA|²-|QA|²)=∑a|PQ|²+2PQ*∑aQA=|PQ|²∑a,即为原式!

Q为三角形ABC内心,证对任一点P均有a*PA+b*PB+c*PC=a*QA*QA+b*QB*QB+c*QC*QC+(a+b+c)*QP*QPBC=a,CA=b,AB=c 等边三角形ABC的边长为a,则三角形ABC内任一点P到 三边的距离之和为. 如图,P、Q是平面内两个点 求作一个三角形ABC,使P是△ABC的外心,Q是△ABC的内心 这样的三角形有几个?如图,P、Q是平面内两个点求作一个三角形ABC,使P是△ABC的外心,Q是△ABC的内心这样的三角形 M为▲ABC内的一点,过M的任一直线交AB于点P,交AC于点Q,满足AB/AP+AC/AQ=3,那么M一定是▲ABC的（）A重心 B垂心 C内心 D外心不过不知道为什么,谁可以介绍清楚啊? 在三角形ABC中,角A等于120度,P为三角形内任一点,求证:PA+PB+PC>AB+AC 如图,三角形A'B'C'是由三角形ABC平移后得到的,已知三角形ABC中任一点P(x0,y0)三角形ABC经过平移后得到三角形A'B'C',三角形ABC中任意一点P（x0,y0）平移后的对应点为P‘（x0+5,y0-2）已知A（-1,2）,B（ 如图所示,D为三角形ABC内任一点,求证角BDC>角A M为△内一点,过M的任一直线交AB边于点P,交AC边于点Q,且满足AB/AP+AC/AQ=3,那么M一定是三角形ABC的什么心 已知P、Q是平面内两个定点,求以P点为内心,以Q点为外心的三角形个数 在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且2sin^2(A+B)/2+cos2C=1,a=1,b=2,（1）求角C和c（2）若P为三角形ABC内任一点（含边界）,点P到三边距离之和为d,设P到AB,BC的距离分别为x,y,请用x,y表示d,并求d的 在三角形ABC中,AB等于AC,P为BC边上任一点,请你证出AB -AP=PB×PC. 设A为定圆外一定点,P为定圆上一定点,由点A向定圆引任一割线ABC.若PB、PC的中点分别为M、N,求证：直线MN恒过一个定点Q 点P为三角形ABC的内心,AP的延长线交三角形ABC的外接圆于点E,交BC于点D.求证：PE=BE. 在三角形ABC中,AB=AC,AD垂直于BC,点P为三角形ADB中任一点.试求证角APB>角APC 如图,已知点P在三角形ABC内任一点,试说明∠A与∠P的大小关系 如图,已知点p在三角形abc内任一点,试说明 在等腰直角三角形ABC中,角A=90度,P为任一点,AP=根号2,BP=3,CP=根号5,求三角形ABC的面积. 已知正△ABC的边长为a,P为△ABC内任一点,用解析法证明：P到三边距离之和为定值