将函数x/3-x 展开成x-1的幂函数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 20:58:24

将函数x/3-x 展开成x-1的幂函数
将函数x/3-x 展开成x-1的幂函数

将函数x/3-x 展开成x-1的幂函数
将x/3-x 换算成仅含x-1的形式
即f(x)=x/(3-x)
=-1-3/(x-3)
=-1-3/[(x-1)-2]
=-1-(3/2)*1/{[(1/2)(x-1)]-1}
下面就可用公式f(x)=1/(x-1)对上面的1/{[(1/2)(x-1)]-1}进行展开了

令t=x-1,原式化为 (t+1)/(2-t)=-1+3/(2-t)=-1+3/2*[1/(1-t/2)]=-1+3/2*Σ(t/2)^n

全部展开

证：
根据齐次性：不妨设a+b+c=1
那么构造函数f（x）=√（x/（1-x））
得到f（x）在x=1/3处的导数等于3/√2，则在x=1/3处的切线为y-1/√2=（3/√2）（x-1/3）
对f（x）的导数再求导，我们的到在（0，1）上只有一个拐点x=1/4，且得到导数先递减，再递增。
而f（1/4）=1/√3 当x=1/4，y-1/√2=（3/√2）（x-1/3），y=3/（4√2）＞y-1/√2=（3/√2）（x-1/3）
而且f（0）=y_（x=0）
所以f（x）>=（3/√2）（x-1/3）+1/√2
所以f（a）+f（b）+f（c）>=（3/√2）（a+b+c-1/3）+1/√2=3/√2

收起

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