作业帮奇函数与偶函数的关系若f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=1/（1-X）,则求f(x)、g(x)的表达式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 20:48:27
奇函数与偶函数的关系若f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=1/（1-X）,则求f(x)、g(x)的表达式
奇函数与偶函数的关系
若f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=1/（1-X）,则求f(x)、g(x)的表达式
奇函数与偶函数的关系若f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=1/（1-X）,则求f(x)、g(x)的表达式
注意到：偶函数f(x)=f(-x),奇函数g(x)=-g(-x)
又∵f(x)+g(x)=1/(1-x)
∴f(x)-g(x)=f(-x)+g(-x)=1/(1+x)
∴f(x)=[1/(1-x)+1/(1+x)]/2
g(x)=[1/(1-x)-1/(1+x)]/2
每个函数F(x)均可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和。
设F(x)=f(x)+g(x) (其中g(x)为奇函数，f(x)为偶函数）
所以F(-x)=g(-x)+f(-x)=-g(x)+f(x)
所以f(x)=[ F(x) + F(-x) ]/2
g(x)=[ F(x) - F(-x) ]/2
于是得当f(x)+g(x)=1/（1-X）
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每个函数F(x)均可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和。
设F(x)=f(x)+g(x) (其中g(x)为奇函数，f(x)为偶函数）
所以F(-x)=g(-x)+f(-x)=-g(x)+f(x)
所以f(x)=[ F(x) + F(-x) ]/2
g(x)=[ F(x) - F(-x) ]/2
于是得当f(x)+g(x)=1/（1-X）
f(x)=[1/(1-x) + 1/(1+x) ] /2=1/(1-x^2) //x^2表示x的平方
g(x)=[1/(1-x) - 1/(1+x) ] /2=x/(1-x^2)
收起
用-x替换x 代人 得 f(x)-g(x)=1/（1+X） 与原式联立，解得
f(x)=1/(1-x^2)
g(x)=x/(1-x^2)
f(-x) +g(-x) = 1/(1+x) = f(x) -g(x)
f(x)+g(x)=1/(1-x)
所以f(x) = [1/(1+x) + 1/(1-x)] /2
g(x) = [1/(1-x) - 1/(1+x)] /2