作业帮函数f(x)=x^2+8/x,证明：当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数根.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 09:22:13
函数f(x)=x^2+8/x,证明：当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数根.
函数f(x)=x^2+8/x,证明：当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数根.
函数f(x)=x^2+8/x,证明：当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数根.
x^2+8/x= a^2+8/a
(x-a)[x+a - 8/(x*a)]=0
ax(x-a)[ax^2+a^2x - 8]=0
因为x≠0,a>3
(x-a)[ax^2+a^2x - 8]=0
所以x=a是其中一个根,要证明x^2+8/x= a^2+8/a有3个实数根.
只要证明：ax^2+a^2x - 8=0另有两根,
当
当x≠a的时候
如果还有两个根 等于证明
x+a - 8/(x*a) =0 有两个根
ax^2+a^2*x-8=0
如果有两个根,那么有 a^4+4a*8>0
而它在a>0时,恒成立.
而且x=a不是其中一个根
因为a^3+a^3-8=0,a=4的立方根,不等于3,
所以当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数根
其实这题中,当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数根.
如图,只要a<x1或0<a≠x2(x2=4的立方根)关于x的方程f(x)=f(a)有3个实数根.
因为a>3,所以a^3+a^3-8>27+27-8>0
x^2+8/x= a^2+8/a
化简得到
(x-a)[x+a - 8/(x*a)] 所以x=a是其中一个根
当x≠a的时候
如果还有两个根 等于证明
x+a - 8/(x*a) =0 有两个根
ax^2+a^2*x-8=0
如果有两个根 那么 有 a^4+4a*8>0
a>3的时候恒成立
而且x=a不是其中一个根
...
全部展开
x^2+8/x= a^2+8/a
化简得到
(x-a)[x+a - 8/(x*a)] 所以x=a是其中一个根
当x≠a的时候
如果还有两个根 等于证明
x+a - 8/(x*a) =0 有两个根
ax^2+a^2*x-8=0
如果有两个根 那么 有 a^4+4a*8>0
a>3的时候恒成立
而且x=a不是其中一个根
因为a^3+a^3-8>27+27-8>0
所以有3个实数根
收起
怎么我证出来只有2个根呢？ 令g(x)=f(x)-f(a)=(x^2+8/x)-(a^2+8/a) 对g求导，得 g'(x)=2x-8/x^2=2(x^3-4)/x^2 g'(x)=0 的点只有一个，即x=x0=4^(1/3)<3 x<x0, g'(x)<0, g(x)单调递减 x>x0, g'(x)>0, g(x)单调递增 而g(x0)=((4^(1/3))^2+8/(4^(1/3)))-(a^2+8/a)<0 g(0)->+∞，g(+∞)->+∞ 即x<x0时，g(x)与x轴有一个交点；x>x0时，g(x)与x轴有一个交点； 即g(x)与x轴只有2个交点，即方程f(x)=f(a)只有2个实数根 还有一个根在哪里？？？ 有图为证：