作业帮一道数学题22在平面直角坐标系中,抛物线y=（1/2）x²+bx+c经过点A(-4,0)、C（2,0）两点,与y轴交于点B.点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-1/2x上的动点.若以点P、Q、B、O为顶点的四边形是直角梯
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 23:58:41
一道数学题22在平面直角坐标系中,抛物线y=（1/2）x²+bx+c经过点A(-4,0)、C（2,0）两点,与y轴交于点B.点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-1/2x上的动点.若以点P、Q、B、O为顶点的四边形是直角梯
一道数学题22
在平面直角坐标系中,抛物线y=（1/2）x²+bx+c经过点A(-4,0)、C（2,0）两点,与y轴交于点B.点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-1/2x上的动点.若以点P、Q、B、O为顶点的四边形是直角梯形时,求出满足条件的所有Q点的坐标.（好像其中有两个点是分别是（4,-2）和（-8,4）,如果正确,说说求解的方法,最好有过程.其他的点直接写出即可.）
一道数学题22在平面直角坐标系中,抛物线y=（1/2）x²+bx+c经过点A(-4,0)、C（2,0）两点,与y轴交于点B.点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-1/2x上的动点.若以点P、Q、B、O为顶点的四边形是直角梯
依题意,可得：y = (1/2)(x+4)(x-2) = (1/2)x²+x-4 ,则有：点B的坐标为（0,-4）；
这两个点的情况应该满足：OP∥BQ,PQ是直角梯形OPQB的高.
设点P的坐标为（t,½t²+t-4）,
则直线BQ的斜率为 k(BQ) = k(OP) = (t²+2t-8)/(2t) ,
可得：直线BQ的方程为 y = [(t²+2t-8)/(2t)]x-4 ,
已知,直线OQ的方程为 y = -½x ,
联立解得：点Q的坐标为（8t/(t²+3t-8),-4t/(t²+3t-8)）,
可得：k(PQ) = [½t²+t-4+4t/(t²+3t-8)]/[t-8t/(t²+3t-8)] ,
因为,PQ⊥BQ ,所以,k(PQ)*k(BQ) = -1 ,
得到一个高次方程,但不知怎么解.
不过可以验证这两个点不是（4,-2）和（-8,4）：
若点Q分别为（4,-2）和（-8,4）,则由k(OP) = k(BQ),可得直线OP方程,
联立直线OP和抛物线,可分别求出对应的点P坐标,可以验证PQ⊥BQ不成立.