用换元积分求以下积分∫e^x√（e^x-1）/(e^x+3)dx

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 20:53:24

用换元积分求以下积分∫e^x√（e^x-1）/(e^x+3)dx
用换元积分求以下积分
∫e^x√（e^x-1）/(e^x+3)dx

用换元积分求以下积分∫e^x√（e^x-1）/(e^x+3)dx
令a=√(e^x-1)
e^x=a²+1
x=ln(a²+1)
所以dx=2ada/(a²+1)
x=0,a=0
x=ln5,a=2
所以原式=∫(a²+1)*a/(a²+4)*2ada/(a²+1)
=∫2a²/(a²+4) da
=2∫[1-4/(a²+4)] da
=2∫da-2∫4/(a²+4) da
=2∫da-2∫1/[(a/2)²+1] da
=2∫da-4∫1/[(a/2)²+1] d(a/2)
=2a-4arctan(a/2)
=4-4arctan1

令t=√（e^x-1）,则e^x=t^2+1, e^xdx=2tdt。
原式=∫<0,2>2t^2/(t^2+4)dt，2t^2/(t^2+4)=2-8/(t^2+4)。
∫8dt/(t^2+4)=4arctan(t/2)+C, 故原式=4-π。

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