作业帮已知三角形ABC中,三内角A,B,C的度数依次成等差数列,三边长为a,b,c依次成等比数列.判断三角形ABC形状
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 23:30:56
已知三角形ABC中,三内角A,B,C的度数依次成等差数列,三边长为a,b,c依次成等比数列.判断三角形ABC形状
已知三角形ABC中,三内角A,B,C的度数依次成等差数列,三边长为a,b,c依次成等比数列.判断三角形ABC形状
已知三角形ABC中,三内角A,B,C的度数依次成等差数列,三边长为a,b,c依次成等比数列.判断三角形ABC形状
假设
a=y/q,b=y,c=yq
因为三内角A,B,C的度数依次成等差数列
所以B=60°
根据边的关系求三角形的形状
b^2=a^2+c^2-2accosB
y^2=(y/q)^2+(yq)^2-y^2
即(y/q)^2+(yq)^2-2y^2=0
(yq^2)^2-2y^2q^2+y^2=0
即(q^2)^2-2q^2+1=0
解得：q^2=1,所以q=1
所以a=b=c
所以三角形为等边三角形
A=30 B=60 C=90
直角三角形
A=30 B=60 C=90
设B的角度为x,d为等差数列的公差,则A为x-d,C为x+d
设a,b,c为等比数列，公比为q，则a=b/q,c=b*q
根据题意和余弦定理得：
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
又：a=b/q,c=b*q
cosB=(b^2/q^2+b^2*q^2-b^2)/2b^2…………这一步就完全换成了b和q的式子
因为x+d+x+x...
全部展开
设B的角度为x,d为等差数列的公差,则A为x-d,C为x+d
设a,b,c为等比数列，公比为q，则a=b/q,c=b*q
根据题意和余弦定理得：
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
又：a=b/q,c=b*q
cosB=(b^2/q^2+b^2*q^2-b^2)/2b^2…………这一步就完全换成了b和q的式子
因为x+d+x+x-d=180
所以x=60
所以cosB=1/2
消去b，得q=1
因此a=b=c
综上所述：
三角形ABC是等边三角形。
收起
直角三角形30° 60° 90°不符合三边长等比数列
A+B+C=180°
A-B=B-C，可得到
B=60°
再由a/b=b/c以及正弦定理,a/sinA=b/sinB=c/sinC,
可得
a/b=sinA/sinB=b/c=sinB/sinC
已经得到B=60°，带入得到
sinA*sinC=sin60°*sin60°
...
全部展开
直角三角形30° 60° 90°不符合三边长等比数列
A+B+C=180°
A-B=B-C，可得到
B=60°
再由a/b=b/c以及正弦定理,a/sinA=b/sinB=c/sinC,
可得
a/b=sinA/sinB=b/c=sinB/sinC
已经得到B=60°，带入得到
sinA*sinC=sin60°*sin60°
又,A+C=120°
sinAsin(120°-A)=3/4
经计算
sinA*sinA=3/4
又0
即A=60°，C=60°
综上，此三角形为正三角形
即度数为公差为0的等差数列，边长为公比为1的等比数列
收起