作业帮长方形abcd内接于椭圆x^2+4y^2=4,这个长方形的长濶为多少会使它的面积最大
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 15:00:47
长方形abcd内接于椭圆x^2+4y^2=4,这个长方形的长濶为多少会使它的面积最大
长方形abcd内接于椭圆x^2+4y^2=4,这个长方形的长濶为多少会使它的面积最大
长方形abcd内接于椭圆x^2+4y^2=4,这个长方形的长濶为多少会使它的面积最大
把椭圆形方程变为标准形式：
X^2/2^2+y^2=1
这是一个长半轴为2在X轴上,短半轴为1在Y轴上的椭圆.
设椭圆上一点M(x,y)则有
y=根号(1-x^2/4)
以M为顶点,x为一边y为另一边的矩形面积S为
S=xy=x根号（1-x^2/4)=根号(x^2-x^4/4)
对S求导得（2x-x^3）/2根号（x^-x^4/4）
令其为0
则有x=0:x=根号2两个解.
当x=根号2时这个矩形面积最大.
此时y=根号2/2
这是椭圆形内接长方形的四分之一
所以当内接长方形的长为2根号2（X方向）阔为根号2（Y方向）时,长方形有最大面积=4
怎么是一样的题？
设椭圆的点（x,y) x=ksinx,y=kcosx
长方形S=x.y=4(ksinx.kcosx)=4k²sinxcosx （将这个长方形看作被坐标系分成四部分）
当sinx=2cosx时S最大(
Smax=4k²sinx.cosx
代入：k²sin²x+4k²cos²2=...
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怎么是一样的题？
设椭圆的点（x,y) x=ksinx,y=kcosx
长方形S=x.y=4(ksinx.kcosx)=4k²sinxcosx （将这个长方形看作被坐标系分成四部分）
当sinx=2cosx时S最大(
Smax=4k²sinx.cosx
代入：k²sin²x+4k²cos²2=4
x=√2,y=√2/2
所以这个长方形的长为2x=2√2时，宽=2y=√2时Smax=4
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长方形abcd内接于椭圆x^2+4y^2=4,这个长方形的长濶为多少会使它的面积最大
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