作业帮已知二次函数y=x2-3(m-1)x+m2-2m-3,其中m为常数,求证：不论m取何实数,这个二次函数的图像与x轴必有两个交点
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 00:07:26
已知二次函数y=x2-3(m-1)x+m2-2m-3,其中m为常数,求证：不论m取何实数,这个二次函数的图像与x轴必有两个交点
已知二次函数y=x2-3(m-1)x+m2-2m-3,其中m为常数,求证：不论m取何实数,这个二次函数的图像与x轴必有
两个交点
已知二次函数y=x2-3(m-1)x+m2-2m-3,其中m为常数,求证：不论m取何实数,这个二次函数的图像与x轴必有两个交点
Δ=9(m-1)^2-4(m^2-2m-3)
=9m^2-18m+9-4m^2+8m+12
=5m^2-10m+21
=5(m-2)^2+1
不论m为何实数,(m-2)^2≥0,
∴Δ≥1>0
∴抛物线与X轴必有两个 不同的交点.
△=[3(m-1)]2-4（m2-2m-3）=9 m2-18m+9- 4m2+8m+12=5(m-1)2+16>0
y = x²-3(m-1)x+m²-2m-3
= （x-3（m-1）/2)² + m²-2m-3 - （3（m-1）/2）²
= （x-3（m-1）/2)² + m²-2m-3 - 9(m² - 2m +1）/4
= （x-3（m-1）/2)² - 5(m-1)²/4 ...
全部展开
y = x²-3(m-1)x+m²-2m-3
= （x-3（m-1）/2)² + m²-2m-3 - （3（m-1）/2）²
= （x-3（m-1）/2)² + m²-2m-3 - 9(m² - 2m +1）/4
= （x-3（m-1）/2)² - 5(m-1)²/4 -4
从上式可以看出，无论m为何值，总可以令 x = 3（m-1）/2，于是
y = - 5(m-1)²/4 -4 < 0
又因为y的图像 是开口向上的，所以这个二次函数的图像与x轴必有2个交点。
收起
二次函数与X轴交点即是方程x2-3(m-1)x+m2-2m-3=0的根
一元二次方程的Δ=b2-4ac=5*（m-1）^2+25恒正
即方程有两根
即二次函数与X轴有两交点