作业帮1的平方加2的平方一直加到N的平方 公式：N(N+1)(2N+1)/6是怎么推出来的?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 12:03:45
1的平方加2的平方一直加到N的平方 公式：N(N+1)(2N+1)/6是怎么推出来的?
1的平方加2的平方一直加到N的平方 公式：N(N+1)(2N+1)/6是怎么推出来的?
1的平方加2的平方一直加到N的平方 公式：N(N+1)(2N+1)/6是怎么推出来的?
你知道1+2+3+4+……+n=n（n+1）/2吧,那就好办了
你看!
1³-0=3×1²-3×1+1
2³-1³=3×2²-3×1+1
3³-2³=3×3²-3×2+1
……
n³-（n-1）³=3n²-3n+1
等式叠加得
n³=3×（1²+2²+3²+……+n²）-3（1+2+3+……+n）+n
3×（1²+2²+3²+……+n²）=n³+3×n（n+1）/2-n=1/2×（2n³+3n²+n）=1/2×n（n+1）（2n+1）
故1²+2²+3²+……+n²=1/6×n（n+1）（2n+1）
从有限差分法可知 S= 1^2 + 2^2 + 3^2 +。。。+n^2 是 n 的三次多项式
S(n)= f(n) = an^3 + bn^2 + cn + d
S(1) = a + b + c + d = 1------(1)
S(2) = 8a + 4b + 2c + d = 5------(2)
S(3) = 27a + 9b + 3c + d = 14--...
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从有限差分法可知 S= 1^2 + 2^2 + 3^2 +。。。+n^2 是 n 的三次多项式
S(n)= f(n) = an^3 + bn^2 + cn + d
S(1) = a + b + c + d = 1------(1)
S(2) = 8a + 4b + 2c + d = 5------(2)
S(3) = 27a + 9b + 3c + d = 14------(3)
S(4) = 64a + 16b + 4c + d = 30------(4)
(2)-(1) 7a+3b+c = 4------(5)
(3)-(2) 19a+5b+c = 9------(6)
(4)-(3) 37a+7b+c = 16------(7)
(6)-(5) 12a+2b = 5------(8)
(7)-(6) 18a+2b = 7------(9)
(9)-(8) 6a = 2, a = 1/3
a 代入(8) b = 1/2
a, b 代入(5) c = 1/6
a, b, c 代入(1) d = 0
所以:
S = (n^3)/3 + (n^2)/2 + n/6
= (2n^3+3n^2+n)/6
= n(2n^2 +3n +1)/6
= n(n+1)(2n+1)/6
有限差分法: 取相邻两项的差，直到两项的差为一常数。
因为在第三次才达成，所以 S 是 n 的三次函数。
n = 1 2 3 4 5 6 7
S = 1 5 14 30 55 91 140
4 9 16 25 36 49
5 7 9 11 13
2 2 2 2
收起
数学归纳法！