作业帮正三棱柱ABC－A1B1C1内接于半径为1的球内,则当该棱柱体积最大时,其高为_________．
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 03:21:30
正三棱柱ABC－A1B1C1内接于半径为1的球内,则当该棱柱体积最大时,其高为_________．
正三棱柱ABC－A1B1C1内接于
半径为1的球内,则当该棱柱体积
最大时,其高为_________．
正三棱柱ABC－A1B1C1内接于半径为1的球内,则当该棱柱体积最大时,其高为_________．
设棱长为6a,高为h
由图知:CO=R=1
又∵ CO2=2√3a
∴ (OO2)²=(CO)²－(CO2)² =1－12a²
∴ h=2×OO2=2√(1－12a²)
∴ V=S∆ABC× h
=9√3a²× 2√(1－12a²)
且1－12a²>0, 即：0<a<√3/6
令√(1－12a²)= t ,即：a²=(1－t²)/12,0<t<1
∴ V=(3√3/2) × t × (1－t²) 0<t<1
法1：导数法
V＇=(3√3/2) × (1－3t²) 0<t<1
∴V在t ∈(0,√3/3)单增；在t ∈(√3/3,1)单减
∴V在t=√3/3时取得最大,
此时h=2√(1－12a²)=2 t =2√3/3
法2：均值不等式：
V=(3√3/2) × t × (1－t²)
∴V²=27/4 × t² × (1－t²) ²
=27/8 ×2 t² × (1－t²) × (1－t²)
≤27/8 ×（3)√[2t² + (1－t²) +(1－t²) ]【（3)√m表示m开3次方】
=27/8 ×（3)√4
当且仅当2t² =1－t²,即t=√3/3时取得最大,
此时h=2√(1－12a²)=2 t =2√3/3
设正三棱柱底面的边长为a,则三棱柱底面的顶点到其所在外接圆的距离为√3/3a，设三棱柱的高为h,则有 （√3/3a）^2+（h/2）^2=1 三棱柱的体积为 V=a×（√3/2）a×h =（√3/2）a^2×h 当a=h时，三棱柱的体积最大，此时，h=a=2√21/7
设正三棱柱底面的边长为a,则三棱柱底面的顶点到其所在外接圆的距离为√3/3a，设三棱柱的高为h,则有 （√3/3a）^2+（h/2）^2=1 三棱柱的体积为 V=a×（√3/2）a×h =（√3/2）a^2×h 当a=h时，三棱柱的体积最大，此时，h=a=2√21/7 。这个可以通过建立函数，然后求极值。...
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设正三棱柱底面的边长为a,则三棱柱底面的顶点到其所在外接圆的距离为√3/3a，设三棱柱的高为h,则有 （√3/3a）^2+（h/2）^2=1 三棱柱的体积为 V=a×（√3/2）a×h =（√3/2）a^2×h 当a=h时，三棱柱的体积最大，此时，h=a=2√21/7 。这个可以通过建立函数，然后求极值。
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