作业帮什么情况下矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵,能证明下吗?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 03:40:50
什么情况下矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵,能证明下吗?
什么情况下矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵,能证明下吗?
什么情况下矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵,能证明下吗?
矩阵A的转置矩阵A^T等于A的逆矩阵A^-1
那么AA^T=AA^-1=E
设A=(α1,α2,α3,...,αn)^T,其中αi为n维列向量,
那么A^T=(α1,α2,α3,...,αn),
α1^Tα1,α1^Tα2,α1^Tα3,...,α1^Tαn
α2^Tα1,α2^Tα2,α2^Tα3,...,α2^Tαn
那么AA^T=( ...............)=E,
...............
αn^Tα1,αn^Tα2,αn^Tα3,...,αn^Tαn
那么||αi^Tαi||=1,||αi^Tαj||,i≠j,
也就是说A的每一个列向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交
同理设A=(α1,α2,α3,...,αn)时用A^TA=E可以证明A的每一个行向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交
这样的矩阵叫做正交矩阵,也就是说A必须是单位矩阵才满足A^T=A^-1
还有没不明白的,欢迎追问~
A^{-1}=A^T <=> AA^T=A^TA=I，这个就是正交矩阵的定义，对于一般的n阶正交阵而言没有更简单的条件了
AA^T=AA^-1=E
设A=(α1，α2，α3，...，αn)^T，其中αi为n维列向量，
那么A^T=(α1，α2，α3，...，αn)，
α1^Tα1，α1^Tα2，α1^Tα3，...，α1^Tαn
α2^Tα1，α2^Tα2，α2^Tα3，...，α2^Tαn
那么AA^T=( ...
全部展开
AA^T=AA^-1=E
设A=(α1，α2，α3，...，αn)^T，其中αi为n维列向量，
那么A^T=(α1，α2，α3，...，αn)，
α1^Tα1，α1^Tα2，α1^Tα3，...，α1^Tαn
α2^Tα1，α2^Tα2，α2^Tα3，...，α2^Tαn
那么AA^T=( ... ... ... ... ... )=E，
... ... ... ... ...
αn^Tα1，αn^Tα2，αn^Tα3，...，αn^Tαn
那么||αi^Tαi||=1，||αi^Tαj||，i≠j，
也就是说A的每一个列向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交
同理设A=(α1，α2，α3，...，αn)时用A^TA=E可以证明A的每一个行向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交
收起
正交矩阵A与其转置相乘，得到的是一个对角矩阵。其对角线上的元素就是矩阵A内每一列向量的模的平方。如果A是单位正交矩阵，则A与A的转置相乘得到的恰好就是单位矩阵。