高数 泰勒公式中的余项问题

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 03:12:55
高数 泰勒公式中的余项问题

高数 泰勒公式中的余项问题
高数 泰勒公式中的余项问题



高数 泰勒公式中的余项问题
先说1,2,Peano余项的问题.
其实定理叙述的比较清楚,f(x)在0的n阶Taylor展开带有一个o(x^n)的余项.
从这个角度说cos(x)的2阶Taylor展开就是cos(x) = 1-1/2·x²+o(x²).
那么为什么又有cos(x) = 1-1/2·x²+o(x³)呢?
原因很简单,这是cos(x)的3阶Taylor展开,而cos(x)在0的3阶导数为0,所以x³项没出现.
所以不要记cos(x),sin(x)的余项加一次这种事情.
展到几阶就是几次,根据需要选择.
而图2展到2阶就够用了,没必要特意展到3阶.
关于1/(1+x²)道理是一样的,5阶导为0,所以展到5阶时没有x⁵项,且余项为o(x⁵).
但是怎么看出5阶导为0呢?
可以用Taylor展开反推高阶导数的办法.
因为我们知道1/(1+x²)的Taylor展开为1-x²+x⁴-x⁶+...没有5次项.
3,4的问题其实与余项无关.
之所以要单独讨论0 < x ≤ 1的情况,是因为1)的方法不适用.
此时x-1 ≤ 0,不在题目条件的范围内,因此对f(x-1)的大小不能估计.
而2)的方法同样不适用于x > 1,因为其依赖于|x-1| < 1.

你可以去数学吧提问，我觉得泰勒这块不用深究，会展开即可

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