作业帮若a b c d是乘积为1的4个正数,则代数式a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac +ad+bc+bd+cd的最小值是_
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 08:24:56
若a b c d是乘积为1的4个正数,则代数式a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac +ad+bc+bd+cd的最小值是_
若a b c d是乘积为1的4个正数,则代数式a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac +ad+bc+bd+cd的最小值是_
若a b c d是乘积为1的4个正数,则代数式a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac +ad+bc+bd+cd的最小值是_
方法一:
已知a>0,b>0,c>0,d>0,则
(a-b)^2≥0
a^2+b^2-2ab≥0
a^2+b^2≥2ab
c^2+d^2≥2cd
a^2+b^2+c^2+d^2≥2ab+2cd
abcd=1
[√(ab)-√(cd)]^2≥0
ab+cd-2√(abcd))≥0
ab+cd≥2
同理
ac+bd≥2
bc+ad≥2
a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac +ad+bc+bd+cd
≥3(ab+cd)+ac+ad+bc+bd
≥3*2+2+2=10
a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac +ad+bc+bd+cd≥10
可知(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac +ad+bc+bd+cd)的最小值=10
方法二:
a>0,b>0,c>0,d>0,abcd=1
cd=1/(ab)
ab+cd≥2√[ab*1/(ab)]=2
其它同方法一.
a>0,b>0,c>0,d>0,abcd=1
a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac +ad+bc+bd+cd
≥3(ab+cd)+(ac+bd)+(ad+bc)
≥3*2√(abcd)+2√(abcd)+2√(abcd)=10
答:(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac +ad+bc+bd+cd)的最小值=10
原式＝1/2(2a^2+2b^2+2c^2＋2d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd)
=1/2[(a+b)^2+(a+c)^2+(a+d)^2+(b+c)^2+(b+d)^2
+(c+d)^2]
所以原式有最小值0
abcd=1,
a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac +ad+bc+bd+cd
=((a+c)^2+(b+c)^2+(a+b)^2+(a+d)^2+(b+d)^2)+(c+d)^2)/2
a=b=c=d,
a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+cd
最小值=10
a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac +ad+bc+bd+cd
>=10*(a^2*b^2*c^2*d^2*ab*ac *ad*bc*bd*cd)^(1/10)＝10
当且仅当a^2＝b^2＝c^2＝d^2＝ab＝ac ＝ad＝bc＝bd＝cd
时取等号即a=b=c=d=1;
一般的式子要小心用以上均值不等式
只是你这个题出得很巧取等号时成立
a*b*c*d=1
a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+cd
=[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+d)^2+(a+d)^2]/2
<=[(a+b+b+c)^2/2+(c+d+a+d)^2/2]/2
<=(a+b+b+c+c+d+d+a)^2/8
=2^2/8=1/2