作业帮三角形中线交点如何用向量的知识证明三角形的三条中线交于一个点
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 22:06:40
三角形中线交点如何用向量的知识证明三角形的三条中线交于一个点
三角形中线交点
如何用向量的知识证明三角形的三条中线交于一个点
三角形中线交点如何用向量的知识证明三角形的三条中线交于一个点
设三角形三个点分别为点A（Xa,Ya),点B(Xb,Yb),点C(Xc,Yc).那么线段AB的中点M为（(Xa+Xb)/2,(Ya+Yb)/2),并且可求出直线CM的方程（点M,点C已经给出,请自己写,电脑不方便书写）
同理可求出直线BN（N为线段AC的中点）的方程
已知已知直线CM,BN的方程,那么可求CM,BN的交点O的坐标
写线段BC的中点R,并求出AR的直线方程.
将O点代入AR的直线方程,证得点O在直线AR上,所以三角形三条中线交与一点
如果你想更详细点的话,就看下我的图解吧.
法一 做过B, C的两条中线,分别交AC于M,交AB于N,所以M,N是AC,AB的中点.连接MN 设向量BP=λ向量PM,向量CP=μ向量PN(λ,μ为不等于0的实数) 向量BC=向量PC-向量PB=向量BP-向量CP=λ向量PM-μ向量PN, 向量NM=向量PM-向量PN,而向量BC=2向量NM 所以,λ向量PM-μ向量PN=2向量PM-2向量PN 即(λ-...
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法一 做过B, C的两条中线,分别交AC于M,交AB于N,所以M,N是AC,AB的中点.连接MN 设向量BP=λ向量PM,向量CP=μ向量PN(λ,μ为不等于0的实数) 向量BC=向量PC-向量PB=向量BP-向量CP=λ向量PM-μ向量PN, 向量NM=向量PM-向量PN,而向量BC=2向量NM 所以,λ向量PM-μ向量PN=2向量PM-2向量PN 即(λ-2)向量PM-(μ-2)向量PN=O向量 因为向量PM与向量PN不共线,所以λ=2,μ=2 所以向量BP=2向量PM 由此证得两中线交点把BM分成2:1.同理可证另一条中线与BM的交点也有此性质,故三角形的三条中线交于一点，并平分每条比为1：2 得证. 法二 作三角形ABC,设D,E,F分别是BC,CA,AB的中点,在平面上任取一点O,设向量OA=a,向量OB=b，向量OC=c 则向量OD=1/2（b+c),向量OF=1/2(a+b),向量OE=1/2(c+a). 再设P为AD的三等分点，满足向量AP=2向量PD 则向量OP=1/3向量OA+2/3OD=1/2a+2/3 * 1/2(a+b)=1/3(a+b+c) 同理可证，P也是BE，CF的三等分点，因此三条中线交于点P 三角形的三条中线交于一点，并平分每条比为1：2
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假设三角形ABC，BC，CA，AB边上的中点分别为DEF，并记坐标原点为O（或者随便平面上一点记为O） 假设AD，BE交于点G，下面只需证明CGF共线； 向量CF=1/2（CA+CB）＝1/2（OA-OC+OB-OC）=OA/2+OB/2-OC 向量CG=OG-OC=（OA+OB+OC）/3-OC＝OA/3+OB/3-2OC/3 从而有向量CG＝2/3CF 从而CGF共线，得证...
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假设三角形ABC，BC，CA，AB边上的中点分别为DEF，并记坐标原点为O（或者随便平面上一点记为O） 假设AD，BE交于点G，下面只需证明CGF共线； 向量CF=1/2（CA+CB）＝1/2（OA-OC+OB-OC）=OA/2+OB/2-OC 向量CG=OG-OC=（OA+OB+OC）/3-OC＝OA/3+OB/3-2OC/3 从而有向量CG＝2/3CF 从而CGF共线，得证； 另外还有很多其他证法，不过向量证法这个算是比较简单的了，其实不用向量法也有很好的证明方法，比如面积法，塞瓦定理，塞瓦逆定理（同一法）等
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